La carrera profesional de Àlex Garrobé se ha desarrollado en más de treinta países en Europa, Asia, África, Sudamérica y los Estados Unidos de América. Entre los salones internacionales más prestigiosos en los que ha tocado se encuentran el Concertgebouw en Amsterdam, el Auditorio de Radio France en París, el Auditorio Nacional de Madrid, el Palau de la Música Catalana en Barcelona, el Auditorio Lutowslasky en Varsovia (Polonia) o el Auditorio Siglo XXI en Beijing (China).

Nacido en Barcelona en el seno de una familia de tradición musical, Àlex Garrobé se gradúa con Matrícula de Honor en el Conservatorio de Alicante en el año 1988. En 1990 es premiado por la Funcación Alexander von Humboldt para ampliar sus estudios en el Musikhochscule en Colonia con Huber Käppel. Algunas influencias muy importantes para él fueron sus profesores José Tomás, William Watter, Carles Trepat y Josep Pons.

Fue el ganador del Concurso Nacional Español JJMM de 1988 y el Concurso de Guitarra Internacional Infanta Cristina en 1989 siendo también el ganador del Concurso Internacional Andrés Segovia en 1989 y en Palma de Mallorca en 1987.

Entre sus muchas colaboraciones como solista con orquesta se encuentra la realzada del Concierto de Aranjuez en el Auditorio Nacional (Madrid) en el concierto organizado en homenaje a Joaquín Rodrigo en 1993, y el estreno mundial del Concierto Mare Nostrum llevado a cabo en el Festival de la Guitarra de Lublin. Muchos compositores le han dedicado obras y encargado estrenos (S. Brotons, M. Smaili, S. Iannarelli, M. García Morante, G. Drozd, S. Eide…).

Àlex Garrobé ha sido profesor en el Centro Superior de Música del País Vasco (MUSIKENE), Escola de Música de Barcelona-Universitat Autónoma, Escola D’Arts Musicals Luthier, Sabadell Conservatory and the Catalan Music College (ESMUC) donde actualmente enseña. Ha impartido clases magistrales en España, Portugal, Alemania, Italia, Polonia, Eslovenia, Noruega (Conservatorio Nacional), Suecia (Real Conservatorio de Estocolmo), China (Conservatorio Nacional), Japón, Holanda, Estados Unidos, Chile, Colombia (Eafit), Sao Paulo, Bolivia (Conservatorio Nacional) y Reino Unido (Escuela London Guildhall).

Ha publicado cuatro CDs en los seños Harmonia Mundi, Opera Tres y Columna Musica. Después de escuchar su CD dedicado a compositores británicos, Sir Malcolm Arnold expresó que era: "una interpretación magistral", a lo que añadió, "es gratificante oír a un músico tocar tan magníficamente".